Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，P，Q分别是BC，C₁D₁，AD₁，BD的中点．
（1）求证：PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）求EF的长，并求异面直线PQ，EF所成角的余弦值．

Answer

（1）连接AC，CD1，由P，Q分别为AD1、AC的中点，知PQ∥CD1，由此能够证明PQ∥平面DCC1D1．
（2）建立空间直角坐标系，求出E、F、P、Q，坐标利用空间两点距离公式直接求EF的长，利用向量数量积求异面直线PQ，EF所成角的余弦值．
【解析】
（1）证明：如图所示，连接AC，CD1，
∵P，Q分别为AD1、AC的中点，∴PQ∥CD1，
∵CD1⊂平面DCC1D1，PQ⊄平面DCC1D1，
∴PQ∥平面DCC1D1．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为a，所以D（0，0，0），E（，a，0），F（0，，a），P（，0，），Q（，，0），
所以=（，，a）.=（0，-，），
所以EF的长：||==．
异面直线PQ，EF所成角的余弦值：cosθ===．