Question

设F₁、F₂分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，与直线y=b相切的⊙F₂交椭圆于点E，且E是直线EF₁与⊙F₂的切点，则椭圆的离心率为    ．

Answer

作出图形，根据椭圆的定义，可得到EF1+EF2=2a，依题意+==4c2，再由⊙F2与直线y=b相切，可得EF2=b，
从而有（2a-b）2+b2=4c2，整理即可求得椭圆的离心率．
【解析】
依题意，作图如右：
∵EF1⊥EF2，⊙F2交椭圆于点E，
∴EF1+EF2=2a，
+==（2c）2=4c2．①
又⊙F2与直线y=b相切，
∴EF2=b，②
∴EF1=2a-b，③
将②③代入①得：（2a-b）2+b2=4c2，
∴4a2+2b2-4ab=4c2，
∴2（a2-c2）=b（2a-b），即2b2=b（2a-b），
∵b≠0，
∴3b=2a，
∴4a2=9b2=9（a2-c2），
∴5a2=9c2，即e2==，
∴e==．