Question

三棱锥P-ABC，底面ABC为边长为的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，O为底面三角形中心．
（Ⅰ）求证DO∥面PBC；
（Ⅱ）求证：BD⊥AC；
（Ⅲ）设M为PC中点，求二面角M-BD-O的余弦值．

Answer

（Ⅰ）连接AO交BC于点E，连接PE，通过DO∥PE，利用直线与平面平行的判定定理，证明求证DO∥面PBC；
（Ⅱ）通过证明AC⊥平面DOB，利用直线与平面垂直的性质定理证明BD⊥AC；
（Ⅲ）设M为PC中点，以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出A、B、P、C、D、M的坐标，求出向量，，设出平面BDM的法向量为，利用，求出，利用求二面角M-BD-O的余弦值．
（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）连接AO交BC于点E，连接PE．
∵O为正三角形ABC的中心，∴AO=2OE，
且E为BC中点．又AD=2DP，
∴DO∥PE，--------------（2分）
∵DO⊄平面PBC，PE⊂平面PBC
∴DO∥面PBC．--------------（4分）
（Ⅱ）∵PB=PC，且E为BC中点，∴PE⊥BC，
又平面PBC⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，--------------（5分）
由（Ⅰ）知，DO∥PE，
∴DO⊥平面PBC，
∴DO⊥AC--------------（6分）
连接BO，则AC⊥BO，又DO∩BO=O，
∴AC⊥平面DOB，∴AC⊥BD．--------------（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA，EB，EP两两互相垂直，且E为BC中点，
所以分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，则------------（9分）
∴
设平面BDM的法向量为，则，
令y=1，则．--------------（10分）
由（Ⅱ）知AC⊥平面DBO，
∴为平面DBO的法向量，
∴，
由图可知，二面角M-BD-O的余弦值为．--------------（12分）