Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=A A₁，∠CAB=
（Ⅰ）证明：CB₁⊥BA₁；
（Ⅱ）已知AB=2，BC=，求三棱锥C₁-ABA₁的体积．

Answer

（I）连接AB1，根据ABC-A1B1C1是直三棱柱，得到平面ABC⊥平面ABB1A1，结合AC⊥AB，可得AC⊥平面ABB1A1，从而有AC⊥BA1，再在正方形ABB1A1中得到AB1⊥BA1，最后根据线面垂直的判定定理，得到BA1⊥平面ACB1，所以CB1⊥BA1；
 （II）在Rt△ABC中，利用勾股定理，得到AC==1，又因为直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1=AC=1且AC⊥平面ABB1A1，得到A1C1是三棱锥C1-ABA1的高，且它的长度为1．再根据正方形ABB1A1面积得到△ABA1的面积，最后根据锥体体积公式，得到三棱锥C1-ABA1的体积为．
【解析】
（I）连接AB1，
∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，
∴平面ABC⊥平面ABB1A1，
又∵平面ABC∩平面ABB1A1=AB，AC⊥AB，
∴AC⊥平面ABB1A1，
∵BA1⊂平面ABB1A1，∴AC⊥BA1，
∵矩形ABB1A1中，AB=AA1，
∴四边形ABB1A1是正方形，
∴AB1⊥BA1，
又∵AB1、CA是平面ACB1内的相交直线，
∴BA1⊥平面ACB1，
∵CB1⊂平面ACB1，∴CB1⊥BA1；
 （II）∵AB=2，BC=，
∴Rt△ABC中，AC==1
∴直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1=AC=1
又∵AC∥A1C1，AC⊥平面ABB1A1，
∴A1C1是三棱锥C1-ABA1的高．
∵△ABA1的面积等于正方形ABB1A1面积的一半
∴=AB2=2
三棱锥C1-ABA1的体积为V=××A1C1=．