Question

已知函数f（x）=（2^x-a）²+（2^-x+a）²，x∈[-1，1]．
（1）当a=1时，求使f（x）=的x的值；
（2）求f（x）的最小值；
（3）关于x的方程f（x）=2a²有解，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由f（x）=（2x-a）2+（2-x+a）2，x∈[-1，1]，知f（x）=（2x-2-x）2-2a（2x-2-x）+2a2+2，令t=2x-2-x，当a=1时，由f（x）=得：t2-2t+4=，由此能求出使f（x）=的x的值．
（2）f（x）=t2-2at+2a2+2=（t-a）2+a2+2，t=2x-2-x，2x-2-x在x∈[-1，1]上单调递增，由此能求出f（x）的最小值．
（3）方程f（x）=2a有解，即方程t2-2at+2=0在[-，]上有解，而t≠0，2a=t+，由此能求出实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=（2x-a）2+（2-x+a）2，x∈[-1，1]，
∴f（x）=22x+2-2x-2a（2x-2-x）+2a2
=（2x-2-x）2-2a（2x-2-x）+2a2+2，
令t=2x-2-x，
当a=1时，由f（x）=得：t2-2t+4=，
解得，．
由2x-2-x=，得x=；由，得x=1，
∴x=1，或．
（2）f（x）=t2-2at+2a2+2=（t-a）2+a2+2，
t=2x-2-x，2x-2-x在x∈[-1，1]上单调递增，
∴t∈[-，]．
当a＜-时，f（x）=f（-）=2a2+3a+，
当-≤a≤时，f（x）min=a2+2，
当a＞时，f（x）min=f（）=2a2-3a+，
∴f（x）min=．
（3）方程f（x）=2a有解，即方程t2-2at+2=0在[-，]上有解，而t≠0，
∴2a=t+，
∵t+在（0，）上单调递减，在（，）上单调递增
t+≥2，t+为奇函数，∴当t∈（-，0）时，t+，
∴a的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．