Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=t，点（S_n，a_n+1）在直线y=2x+1上，n∈N．
（I）当实数t为何值时，数列{a_n}是等比数列？
（Ⅱ）在（I）的结论下，设b_n=log₃a_n+1，T_n是数列的前n项和，求T₂₀₁₂的值．

Answer

（I）利用an=Sn-Sn-1（n≥2）可得an+1=3an，要使得当n≥1时，{an}是等比数列，则只需可求t
（II）由（I）可求bn，结合数列的特点，考虑利用裂项相消可求数列的和
【解析】
（I）由题意可得，an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1（n≥2）
两式相减可得，an+1-an=2an即an+1=3an
∴当n≥2时，{an}是等比数列
要使得当n≥1时，{an}是等比数列，则只需
∴t=1
（II）由（I）可得，bn=log3an+1=n
∴==
∴=1-=