Question

已知二次函数y=f（x）的图象经过坐标原点，与x轴的另一个交点为（），且f（）=-，数列{a_n} 的前n项的和为S_n，点（n，S_n）在函数y=f（x）的图象上．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求数列{a_n} 的通项公式；
（3）设b_n=，求数列 {b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由条件列方程组，解之即可；（2）由点（n，Sn）在函数y=f（x）的图象上，可得Sn=3n2-2n，由an=Sn-Sn-1可得答案；
（3）由（2）知an=6n-5，bn==，由错位相减法求和即可．
【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）…（1分）
由条件可知，…（2分）
解得a=3，b=-2，c=0，…（3分）
∴f（x）=3x2-2x．…（4分）
（2）又点（n，Sn）在函数y=f（x）的图象上，则Sn=3n2-2n…（5分）
当n=1时，a1=S1=3-2=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n-3（n-1）2+2（n-1）=6n-5…（6分）
对于上式，当n=1时，也有a1=1，…（7分）
所以通项公式为an=6n-5…（8分）
（3）由（2）知an=6n-5，bn==…（9分）
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn
=    ①
①×得，=  ②---（11分）
①-②有=
=6-=--------------------（13分）
∴Tn=7-3-=7---------------------（14分）