Question

集合A是由适合以下性质的函数f（x）组成的，对于任意的x≥0，f（x）∈[-2，4）且f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（1）试判断f₁（x）=及f₂（x）=4-6⋅（）^x（x≥0）是否在集合A中，若不在集合A中，试说明理由；
（2）对于（1）中你认为是集合A中的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意x≥0总成立？试证明你的结论．

Answer

（1）通过特例，判断f1（x）不在集合A中，求出f2（x）的值域，即可判断是否在集合A中．
（2）利用 （1）f2（x）在集合A中，化简不等式f（x）+f（x+2）-2f（x+1）通过指数的性质，推出结论即可．
【解析】
（1）∵当x=49时f1（49）=5∉[-2，4）
∴f1（x）不在集合A中             （3分）
又∵f2（x）的值域[-2，4），
∴f2（x）∈[-2，4）
当x≥0时f2（x）为增函数，
因为y=⋅（）x是减函数，所以f2（x）=4-6⋅（）x（x≥0）是增函数，
∴f2（x）在集合A中               （3分）
（2）∵f2（x）+f2（x+2）-2f2（x+1）
=
=
∴f2（x）对任意x≥0，不等式f2（x）+f2（x+2）＜2f2（x+1）总成立  （6分）