Question

已知函数f（x）=x²-2x，其中a-1≤x≤a+1，a∈R．设集合M={（m，f（n））|m，n∈[a-1，a+1]}，若M中的所有点围成的平面区域面积为S，则S的最小值为    ．

Answer

设f（n）∈[p，q]，则M中的所有点围成的平面区域面积为S=[（a+1）-（a-1）]（q-p）=2（q-p），分情况讨论求出f（n）的值域，然后表示出S，即可求出S的最小值．
【解析】
（1）当a+1≤1即a≤0时，f（x）在[a-1，a+1]上单调递减，
f（a+1）≤f（n）≤f（a-1），即f（n）∈[a2-1，a2-4a+3]，
此时，S=[（a+1）-（a-1）]（a2-4a+3-a2+1）=2（-4a+4）≥8；
（2）当a-1≥1即a≥2时，f（x）在[a-1，a+1]上单调递增，
f（n）∈[a2-4a+3，a2-1]，
此时，S=2（4a-4）≥8；
（3）当0≤a≤1时，f（n）∈[-1，a2-4a+3]，
此时，S=2（a2-4a+3+1）=2（a-2）2≥2；
（4）当1＜a＜2时，f（n）∈[-1，a2-1]，
此时，S=2（a2-1+1）=2a2＞2；
综上所述，S≥2，即S的最小值为2．
故答案为：2．