Question

设函数f（x）=axⁿ（1-x）+b（x＞0），n为正整数，a，b为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的最大值．

Answer

由f'（x）=naxn-1-（n+1）axn，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=1，可得f'（1）=-1，f（1）=0，则f（x）=xn-xn+1，由此能求出函数f（x）的最大值．
【解析】
（1）∵函数f（x）=-axn（x-1）+b=axn-axn+1+b，
∴f'（x）=naxn-1-（n+1）axn，
由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=1，
可得f'（1）=-1，f（1）=0，
∴a=1，b=0．
（2）由（1）可知f（x）=xn-xn+1，
故f′（x）=-（n+1）xn（x-），令f'（x）=0，得x=
当x∈（0，），f′（x）＞0，当x∈（，+∞），f′（x）＜0，
故函数f（x）在（0，）上单调递增；在（，+∞）上单调递减，
∴f（x）在（0，+∞）上最大值为f（）=