Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*．
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{S_n}的通项公式，并求出使得S_n+1＞S_n成立的最小正整数n．

Answer

（1）通过an=Sn-Sn-1求出当≥2时，an的通项公式，进而可得出为常数，进而验证a1-1最后可确定{an-1}是等比数列；
（2）根据（1）{an-1}是以15为首项，公比为的等比数列可求得数列{an-1}的通项公式，进而求出数列{an}的通项公式．可知
{an}是由常数列和等比数列构成，进而求出Sn．进而代入Sn+1＞Sn两边求对数，进而可得答案．
【解析】
（1）当n=1时，a1=-14；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1，
所以，
又a1-1=-15≠0，所以数列{an-1}是等比数列；
（2）由（1）知：，
得，
从而（n∈N*）；
由Sn+1＞Sn，得，，
最小正整数n=15．