Question

设函数y=f（x）的定义域为R，并且满足f（x+y）=f（x）+f（y），，且当x＞0时，f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判断函数的奇偶性；
（3）如果f（x）+f（2+x）＜2，求x取值范围．

Answer

（1）由函数满足f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，能求出f（0）．
（2）由y=f（x）的定义域为R，f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0，令y=-x，能推导出f（x）是奇函数．
（3）利用单调性的定义，结合足f（x+y）=f（x）+f（y），可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．
【解析】
（1）∵函数满足f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0．
∴f（0）=0．…3分．
（2）∵y=f（x）的定义域为R，
f（x+y）=f（x）+f（y），f（0）=0，
∴y=-x，得f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（x）是奇函数．…6分
（3）∵f（x+y）=f（x）+f（y），，且当x＞0时，f（x）＞0．
f（x1）=f（x2）+f（x1-x2），令x1＞x2，则f（x1）＞f（x2），所以函数单调递增，
∵f（x）+f（2+x）＜2，
∴，
∴x取值范围是（-∞，-）．…12分