Question

设函数，常数λ＞0．
（1）若λ=1，判断f（x）在区间[1，4]上的单调性，并加以证明；
（2）若f（x）在区间[1，4]上的单调递增，求λ的取值范围．

Answer

（1）在区间[1，4]上任取两个值x1，x2∈[1，4]且x1＜x2，然后通过化简判定f（x1）-f（x2）的符号，最后根据单调性的定义进行判定即可；
（2）在区间[1，4]上任取两个值x1，x2∈[1，4]且x1＜x2，然后根据单调性得到f（x1）-f（x2）＜0恒成立，从而可求出所求．
【解析】
（1）f（x）=x+，∀x1，x2∈[1，4]且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1-x2）…（3分）
∵x1，x2∈[1，4]，x1＜x2
∴x1-x2＜0，x1x2＞0，x1x2-1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0
∴f（x）在区间[1，4]上的单调递增．…（6分）
（2）∀x1，x2∈[1，4]且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1-x2）…（8分）
∵f（x）在区间[1，4]上的单调递增
∴f（x1）-f（x2）＜0
∵1≤x1＜x2≤4，
∴x1x2-λ＞0对∀x1，x2∈[1，4]且x1＜x2恒成立…（10分）
即λ＜x1x2
∴λ≤1
∵λ＞0
∴0＜λ≤1…（12分）