Question

已知函数f（x）=a^2x+a^x-6，其中a＞0且a≠1．
（1）当a=2时，求函数f（x）的零点；
（2）若x∈[1，2]时，函数f（x）的最大值为6，求a的值．

Answer

（1）求出f（x）=0的根，即可求函数f（x）的零点；
（2）换元，再进行分类讨论，利用函数的单调性，函数f（x）的最大值为6，即可求a的值．
【解析】
（1）当a=2时，f（x）=22x+2x-6…1分
由f（x）=0得22x+2x-6=0，即（2x-2）（2x+3）=0…2分
∴2x=2或2x=-3（舍去）                           …4分
∴x=1…5分
∴函数f（x）的零点是1…6分
（2）令ax=t，则g（t）=t2+t-6
①当0＜a＜1时
∵函数t=ax在R上是减函数，且1≤x≤2，∴a2≤t≤a…7分
∵g（t）=t2+t-6在上单调递增
∴f（x）max=g（t）max=g（a）=6
∴a2+a-6=6，即a2+a-12=0…8分
解得a=3（舍去）或a=-4（舍去）                     …9分
②当a＞1时
∵函数t=ax在R上是增函数，且1≤x≤2，∴a≤t≤a2…10分
∵g（t）=t2+t-6在上单调递增
∴
∴（a2）2+a2-6=6，即（a2）2+a2-12=0…11分
解得a2=3或a2=-4（舍去）                       …12分
∴…13分
综合①②可知，．                           …14分．