Question

（1）已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求双曲线方程．
（2）P为椭圆上的一点，F₁和F₂是其焦点，若∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面积．

Answer

（1）由题意可知双曲线的焦点在x轴，并求得焦点为F（±4，0），离心率为2，从而求出c，a，b得到双曲线方程；
（2）根据椭圆的定义，得PF1+PF2=2a…①，再在△F1PF2中用余弦定理，得PF12+PF22-PF1•PF2…②．由①②联解，得PF1•PF2，最后用根据正弦定理关于面积的公式，可得△PF1F2的面积．
【解析】
（1）∵椭圆焦点为F（±4，0），离心率为e=，而双曲线与椭圆共焦点，
∴双曲线的焦点为F（±4，0），又它们的离心率之和为，
设该双曲线的离心率为e，则e+=，
∴e=2，即=2，而c=4，
∴a=2，b=2．
∴双曲线方程为：；
（2）∵椭圆方程是，
∴a2=100，b2=64．可得a=10，c2=100-64=36，即c=6．
∵P是椭圆上的一点，F1、F2是焦点，
∴根据椭圆的定义，得PF1+PF2=2a=20…①
又∵△F1PF2中，∠F1PF2=60°且F1F2=2c=12
∴根据余弦定理，得F1F22=PF12+PF22-2PF1•PF2cos60°=144，
即PF12+PF22-PF1•PF2=144…②
∴①②联解，得PF1•PF2=
∴△PF1F2的面积为：S=PF1•PF2sin60°=．