Question

（理科）若正四面体S-ABC的底面△ABC内有一动点P分别到面SAB，面SBC，面SAC的距离成等差数列，则点P的轨迹正确的是    ；
（1）一条线段        
（2）一个点       
（3）一段圆弧       
（4）抛物线的一段．

Answer

设正四面体棱长为1，由于P到面SAB、面SBC、面SAC的距离成等差数列，可算出点P到平面SBC的距离等于（定值），因此点P在与平面SBC平行且距离为的平面α内，说明P在平面ABC与平面α的交线上，由此可得本题答案．
【解析】
连接PA、PB、PC、PS，设P在平面SBC、平面SAC和平面SAB的射影
分别为F、G和H，连接PF、PG、PH
设正四面体棱长为1，可得它的体积为
V=×S△ABC×h=××=
∵PH、PF、PG成等差数列，
∴设PH=PF-x，PG=PF+x（x＜PF），得
VP-ABS=×S△ABS×PH=（PF-x），
VP-BCS=×S△BCS×PH=PF，VP-ACS=×S△BCS×PH=（PF+x）
由此可得（PF-x）+PF+（PF+x）=，化简可得PF=
所以动点P到平面SBC的距离为（定值），
得P在与平面SBC平行且距离为的平面内，设这个平面为α
∴点P在平面ABC与平面α的交线上，可得P在△ABC内的轨迹是一条线段
故答案为：（1）