Question

若C₃²+C₄²+C₅²+…+C_n²=363，则自然数n=    ．

Answer

根据题意，现将原等式变形为C33+C32+C42+C52+…+Cn2=364，再利用组合数的性质Cnm+Cnm-1=Cn+1m，可得C22+C32+C42+C52+…+Cn2=Cn+13，则原等式可化为Cn+13=364，解可得答案．
【解析】
C32+C42+C52+…+Cn2=363，
则1+C32+C42+C52+…+Cn2=364，即C33+C32+C42+C52+…+Cn2=364，
又由Cnm+Cnm-1=Cn+1m，则C22+C32+C42+C52+…+Cn2=C43+C42+C52+…+Cn2=C53+C52+C62+…+Cn2=Cn+13，
原式可变形为Cn+13=364，
化简可得=364，
又由n是正整数，解可得n=13，
故答案为13．