Question

试讨论函数f（x）=log_a（a＞0且a≠1）在（1，+∞）上的单调性，并予以证明．

Answer

将函数f（x）看作是由y=logau和u=两个函数复合而来，先证用单调性定义证明u=的单调性，再用复合函数单调性的结论（同增异减）得到结论．
【解析】
设u=，任取x2＞x1＞1，则
u2-u1=
=
=．
∵x1＞1，x2＞1，∴x1-1＞0，x2-1＞0．
又∵x1＜x2，∴x1-x2＜0．
∴＜0，即u2＜u1．
当a＞1时，y=logax是增函数，∴logau2＜logau1，
即f（x2）＜f（x1）；
当0＜a＜1时，y=logax是减函数，∴logau2＞logau1，
即f（x2）＞f（x1）．
综上可知，当a＞1时，f（x）=loga在（1，+∞）上为减函数；
当0＜a＜1时，f（x）=loga在（1，+∞）上为增函数．