Question

已知函数f（x）是正比例函数，g（x）是反比例函数，且f（1）=1，g（1）=1，
（1）求函数f（x）和g（x）；
（2）判断函数F（x）=f（x）+g（x）在[1，2]上的单调性，并证明；
（3）求函数F（x）在[1，2]上的值域．

Answer

（1）由函数f（x）是正比例函数，g（x）是反比例函数，设f（x）=k1x，g（x）=，利用f（1）=1，g（1）=1，能求出f（x）=x，g（x）=．
（2）F（x）=f（x）+g（x）x+在[1，2]上是增函数．利用定义法进行证明即可．
（3）由函数F（x）=x+在[1，2]上的单调递增，知f（x）min=f（1），f（x）max=f（2）．由此能求出函数F（x）在[1，2]上的值域．
【解析】
（1）∵函数f（x）是正比例函数，g（x）是反比例函数，
∴设f（x）=k1x，k1≠0，g（x）=，k2≠0，
∵f（1）=1，g（1）=1，
∴k1=1，k2=1，
∴f（x）=x，g（x）=．
（2）∵F（x）=f（x）+g（x），
∴由（1）知F（x）=x+．它在[1，2]上的单调递增．证明如下：
在[1，2]上任取x1，x2，令x1＜x2，
F（x1）-F（x2）=（）-（）
=（x1-x2）+（）
=（x1-x2）+
=（x1-x2）（1-），
∵1≤x1＜x2≤2，
∴x1-x2＜0，1-＞0，
∴F（x1）-F（x2）=（x1-x2）（1-）＜0，
∴函数F（x）=f（x）+g（x）在[1，2]上的单调递增．
（3）∵函数F（x）=x+在[1，2]上的单调递增，
∴f（x）min=f（1）=1+1=2，
f（x）max=f（2）=2+=．
故函数F（x）在[1，2]上的值域为[2，]．