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某同学在研究函数(x∈R)时,给出了下面几个结论: ①函数f(x)的值域为(-1...

某同学在研究函数manfen5.com 满分网(x∈R)时,给出了下面几个结论:
①函数f(x)的值域为(-1,1);②若f(x1)=f(x2),则恒有x1=x2;③f(x)在(-∞,0)上是减函数;
④若规定f1(x)=f(x),fn+1(x)=f[fn(x)],则manfen5.com 满分网对任意n∈N*恒成立,
上述结论中所有正确的结论是( )
A.②③
B.②④
C.①③
D.①②④
根据题意,以此分析命题:①函数f(x)的值域为(-1,1),可由绝对值不等式的性质证明得;②可从反面考虑,若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2),可根据函数的解析式判断出其是一个增函数,;③与②的判断方法一样;④由其形式知,此是一个与自然数有关的命题,故采用数学归纳法进行证明,即可得答案. 【解析】 ①|x|<1+|x|,故,函数f(x)的值域为(-1,1),①正确; ②函数是一个奇函数,当x≥0时,,判断知函数在(0,+∞)上是一个增函数,由奇函数的性质知,函数(x∈R)是一个增函数,故若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2), 从而有若f(x1)=f(x2),则恒有x1=x2; 此命题正确; ③由②已证f(x)在(-∞,0)上是增函数,故此命题不正确; ④当n=1,f1(x)=f(x)=,, 假设n=k时,成立,则n=k+1时,成立, 由数学归纳法知,此命题正确. 故选D.
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考点分析:
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