Question

如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四边形ABDE是直角梯形，，O，M，N分别为CE，AB，EM的中点．
（1）求证：OD∥平面ABC；
（2）求证：ON⊥平面ABDE；
（3）求直线CD与平面ODM所成角的正弦值．

Answer

（1）利用三角形的中位线的性质，先证明四边形ODBF是平行四边形，从而可得OD∥FB，利用线面平行的判定，可以证明OD∥平面ABC；
（2）利用平面ABDE⊥平面ABC，证明BD⊥平面ABC，进而可证ON⊥平面ABDE；
（3）建立空间直角坐标系，确定平面ODM的法向量，利用向量的夹角公式，可求直线CD与平面ODM所成角的正弦值．
（1）证明：如图1，取AC中点F，连接OF，BF．
∵O是EC中点，∴OF是△CAE的中位线，∴OF∥EA，且，
又DB∥EA，且，∴OF∥DB且OF=DB，∴四边形ODBF是平行四边形，
∴OD∥FB．
∵OD⊄面ABC，FB⊂面ABC，OD∥平面ABC．…（5分）
（2）证明：连接CM，
∵N是EM的中点，∴ON∥CM．
∵平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC=AB，BD⊂平面ABDE，BD⊥AB，
∴BD⊥平面ABC，
∵CM⊂平面ABC，∴BD⊥CM，∴BD⊥ON．
又△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，M是AB的中点，∴CM⊥AB，∴ON⊥AB，
由AB，DB⊂平面ABDE，AB∩DB=B，∴ON⊥平面ABDE．…（11分）
（3）【解析】
建立如图2所示的空间直角坐标系．
由条件，得，，
∴，
设平面ODM的法向量为，
由，
∴，取，
设直线CD与平面ODM所成角为θ，则，
∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为．  …（16分）