Question

已知函数f（x）=x|x-m|（x∈R），且f（4）=0．
（1）求实数m的值；
（2）作出函数f（x）的图象；
（3）写出函数在x∈[1，5]的值域．

Answer

（1）由“f（4）=0”，将x=4代入函数解析式，构造关于m的方程，可求得m的值
（2）由（1）中m值，利用零点分段法可得函数f（x）的分段函数形式的解析式，进而根据分段函数图象分段画的原则，得到函数f（x）的图象；
（3）根据函数图象分析出函数在x∈[1，5]时的最大值和最小值，进而可求出函数在x∈[1，5]的值域．
【解析】
（1）∵f（x）=x|x-m|，
由f（4）=0得4×|4-m|=0
即|4-m|=0
解得：m=4；
（2）由（1）得f（x）=x|x-4|，
即
则函数的图象如下图所示；

（3）由图象可知函数在x∈[1，5]的值域为[0，5]