Question

如图，三棱柱ABC=A₁B₁C₁的侧棱A₁A垂直于底面ABC，A₁A=2，AC=CB=1，∠BCA=90°，M、N分别是AB、A₁A的中点．
（1）求证：A₁B⊥CM；
（2）求直线BN与平面A₁BC所成角正弦值．

Answer

（1）先证明CM⊥面AA1B1B，再利用线面垂直的性质，即可得到CM⊥A1B；
（2）过N作NH⊥A1C交A1C于H，则∠NBH为所求的角，由此可得结论．
（1）证明：∵M为AB的中点，AC=CB，∴CM⊥AB，
又∵AA1⊥面ABC，CM⊂面ABC，
∴AA1⊥CM
∵AB∩AA1=A，∴CM⊥面AA1B1B，
∵CM⊂面AA1B1B，
∴CM⊥A1B-------------（6分）
（2）【解析】
过N作NH⊥A1C交A1C于H，

∵∠BCA=90°，∴BC⊥面AA1C1C
∴BC⊥NH，
∴NH⊥面A1BC，则∠NBH为所求的角
在直角△NBH中，--------------（12分）