Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n 且，数列{b_n}的前n项和是T_n且．n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）记c_n=a_n•b_n，求证：当n≥2时，数列{c_n}是递减数列．

Answer

（1）利用，由，能求出an．
（2）由Tn=1-，当n=1时，解得；当n≥2时，，由此能够证明数列{bn}是等比数列．
（3）由an=4n-2，bn=，知cn=an•bn=（4n-2）•=．由此能够证明cn+1≤cn．
（1）【解析】
∵数列{an}的前n项和是Sn 且，
∴a1=S1=2，
an=Sn-Sn-1=2n2-2（n-1）2=4n-2，
当n=1时，4n-2=2=a1，
∴an=4n-2．
（2）证明：∵数列{bn}的前n项和是Tn且．n∈N*，
∴Tn=1-，
当n=1时，，解得；
当n≥2时，，②
①-②，得bn=，
∴，
又∵b1=，
∴=，
∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列．
（3）证明：由（2）得bn=，
∴cn=an•bn=（4n-2）•=．
∴cn+1-cn==，
∵n≥1，∴cn+1-cn≤0，
故cn+1≤cn．所以数列是递减数列