Question

已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，，．
（1）若∥，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若⊥，边长c=2，角C=，求△ABC的面积．

Answer

（1）利用向量平行的条件，写出向量平行坐标形式的条件，得到关于三角形的边和角之间的关系，利用余弦定理变形得到三角形是等腰三角形．
（2）利用向量垂直数量积为零，写出三角形边之间的关系，结合余弦定理得到求三角形面积所需的两边的乘积的值，求出三角形的面积．
证明：（1）∵m∥n
∴asinA=bsinB
即a•=b•．其中R为△ABC外接圆半径．
∴a=b
∴△ABC为等腰三角形．
（2）由题意，m•p=0
∴a（b-2）+b（a-2）=0
∴a+b=ab
由余弦定理4=a2+b2-2ab•cos
∴4=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab
∴ab2-3ab-4=0
∴ab=4或ab=-1（舍去）
∴S△ABC=absinC
=×4×sin=