Question

设数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+1（n≥2），且a₁=1，b_n=log₂（a_n+1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和为S_n，证明：．

Answer

（1）由已知可得an+1=2（an-1+1），数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列，即可求数列{an}的通项公式；
（2）先求bn，代入，再利用裂项求和方法即可证明．
（1）【解析】
因为an=2an-1+1（n≥2），所以an+1=2（an-1+1）（n≥2），
所以数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
所以an+1=2•2n-1=2n．
所以an=2n-1…（4分）
（2）证明：因为an=2n-1，所以bn=log2（an+1）=n…（6分）
所以=（）．…（8分）
所以Sn=（…++）=
=＜．…（12分）