Question

已知定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函数g（x）在（-∞，0）内为单调递减函数，且g=g（x）+g（y）对任意的x，y都成立，g（2）=1．
（1）求g（4）的值；
（2）求满足条g（x）＞g（x+1）+2的x的取值范围．

Answer

（1）由g（x•y）=g（x）+g（y）对任意的x，y都成立及g（2）=1，考虑利用赋值法，取x=y=2可求g（4）；  
（2）若g（x）＞g（x+1）+2，结合（1）及已知可以化简为g（x）＞g[4（x+1）]，g（x）为偶函数，且在（-∞，0）为单调递减函数，可得g（x）在（0，+∞）为单调递增函数．从而可得|x|＞4|x+1|，|x+1|≠0，解不等式可求x的取值范围
【解析】
（1）∵g（x•y）=g（x）+g（y）对任意的x，y都成立，g（2）=1．
令x=y=2时有g（4）=g（2×2）=g（2）+g（2）=2
（2）∵g（x）＞2+g（x+1）=g（4）+g（x+1）=g[4（x+1）]
又∵g（x）为偶函数，且g（x）在（-∞，0）为单调递减函数，
∴g（x）在（0，+∞）为单调递增函数．
|x|＞4|x+1|，|x+1|≠0
两边同时平方化简可得，15x2+32x+16＜0
解二次不等式可得，-＜x＜-，且x≠-1
综上x的取值范围为（-，-1）∪（-1，-）