Question

对于数列A：a₁，a₂，…，a_n，若满足a_i∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0-1数列”．定义变换T，T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如A：1，0，1，则T（A）：0，1，1，0，0，1．设A是“0-1数列”，令A_k=T（A_k-1），k=1，2，3，…
（1）若数列A₂：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1．则数列A为    ；
（2）若A为0，1，记数列A_k中连续两项都是0的数对个数为l_k，k=1，2，3，…，则l_2n关于n的表达式．是    ．

Answer

（1）由变换T的定义“T将“0-1数列”A中原有的每个0都变成1，0”，直接可得数列A．
（2）设Ak中有bk个01数对，Ak+1中的00数对只能由Ak中的01数对得到，所以lk+1=bk，Ak+1中的01数对有两个产生途径：①由Ak中的1得到； ②由Ak中00得到，由此能求出l2n关于n的表达式．
【解析】
（1）∵数列A2：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1，
∴由变换T的定义可得A1：0，1，1，0，0，1．…（2分）
A：1，0，1．…（4分）
（2）设Ak中有bk个01数对，Ak+1中的00数对只能由Ak中的01数对得到，
所以lk+1=bk，Ak+1中的01数对有两个产生途径：①由Ak中的1得到； ②由Ak中00得到，
由变换T的定义及A：0，1可得Ak中0和1的个数总相等，且共有2k+1个，
所以bk+1=lk+2k，
所以lk+2=lk+2k，
由A：0，1可得A1：1，0，0，1，A2：0，1，1，0，1，0，0，1，
所以l1=1，l2=1，
当k≥3时，
若k为偶数，lk=lk-2+2k-2，lk-2=lk-4+2k-4，…l4=l2+22．
上述各式相加可得lk=1+22+24+…+2k-2==（2k-1），
经检验，k=2时，也满足lk=（2k-1）．
∴l2n=（4n-1）．
故答案为：1，0，1；（4n-1）．