Question

附加题
（1）已知关于x的方程|x²-1|=a|x-1|只有一个实数解，则实数a的取值范围为______
（2）设[x]是不超过x的最大整数，则[log₃1]+[log₃2]+[log₃3]+…[log₃100]=______．

Answer

（1）将方程变形，利用x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，从而可求实数a的取值范围．
（2）由题意知[log31]+[log32]=0，先根据对数的运算性质判断[log33]…[log3100]的大小，最后加起来即可求解．
【解析】
（1）|x2-1|=a|x-1|，变形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，
即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，
若x=1，则a=2，此时方程有两解，
∴只能方程|x+1|=a无解
∴a＜0．
（2）由题意可知：设[log3a]=b
log3a=b+x，a，b为整数
a=3b+x，0≤x＜1，
因为y=3x为单调增函数
当a在[1，2]时
因为3=1，31=3
则0＜b+x＜1
所以b=0时，[log31]+[log32]=0
当a在[3，8]时
同理1＜b+x＜2
b=1时，[log33]+[log34]+…+[log38]=1×6
b=2时，[log39]+[log310]+…+[log326]=2×18．
b=3时，[log327]+[log328]+…+[log380]=3×54．
b=4时，[log381]+[log382]+…+[log3100]=4×20．
∴[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log3100]=1×6+2×18+3×54+4×20=284；