Question

已知函数（a∈R）．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并证明．

Answer

（1）直接根据函数f（x）为奇函数，对应的f（-x）+f（x）=0恒成立即可求出a的值；
（2）直接根据对数函数的单调性以及对数的值域按单调性的证明过程即可得到结论．
【解析】
（1）∵函数f（x）为奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，
即：，
则有：，
即：，
∴4a-1=0，；
（2）f（x）在R上是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）===．
∵y=3x在R上是增函数，且x1＜x2，
∴，
即：．
又3x＞0，
∴，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即：f（x1）＜f（x2），
故f（x）在R上是增函数．