Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，点P在线段BD₁上，当∠APC最大时，三棱锥P-ABC的体积为    ．

Answer

连接AC交BD于O，连接PO，则∠APC=2∠APO，由tan∠APO=，知PO⊥BD1时，∠APO最大，由此能求出三棱锥P-ABC的体积．
【解析】
连接AC交BD于O，连接PO，则∠APC=2∠APO，
∵tan∠APO=，
∴当PO最小时，∠APO最大，
即PO⊥BD1时，∠APO最大，
如图，作PE⊥BD于E，
∵正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，
∴BD=，BD1=，
∵OP⊥BD1，PE⊥BD，
∴△BDD1∽△BPO∽△PEO，
∴，，
∴OP===，
PE===，
∴三棱锥P-ABC的体积V===．
故答案为：．