Question

已知数列{a_n}，其前n项和S_n满足S_n+1=2λS_n+1（λ是大于0的常数），且a₁=1，a₃=4．
（Ⅰ）求λ的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer

（Ⅰ）由已知，表示出a3=S3-S2=4λ2  解次方程即可．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 Sn+1=2Sn+1整理得Sn+1+1=2（Sn+1），求出Sn，再利用数列中an，Sn的关系求出an．
【解析】
（Ⅰ）由Sn+1=2λSn+1得S2=2λS1+1=2λa1+1=2λ+1，S3=2λS2+1=4λ2+2λ+1
∴a3=S3-S2=4λ2，∵a3=4，λ＞0，∴λ=1
（Ⅱ）由Sn+1=2Sn+1整理得Sn+1+1=2（Sn+1），
∴数列{Sn+1}是以S1+1=2为首项，以2为公比的等比数列
∴Sn+1=2•2n-1，∴Sn=2n-1，
∴an=Sn-Sn-1=2n-1（n≥2）
∵当n=1时，a1=1满足an=2n-1，∴an=2n-1