Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点．
（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角．

Answer

（Ⅰ）因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点，以AD长为单位长度，以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）由，利用向量法能够求出AC与PB所成的角．
（Ⅰ）证明：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，
以A为坐标原点，以AD长为单位长度，以AD为x轴，以AB为y轴，以AP为z轴，
如图建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），
D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，）．
=（0，0，1），=（0，1，0），
∴=0，∴AP⊥DC．
又由题设知AD⊥DC，且AP与与AD是平面PAD内的两条相交直线，
由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD．
（Ⅱ）【解析】
∵，
∴||==，||==，
=2，
∴cos＜，＞===．
∴AC与PB所成的角为arccos．