Question

在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC．BE和平面ABC所成的角为，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，DE=-1．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值．

Answer

（1）取AC中点O，连接BO、DO，等边三角形△ACD中，DO⊥AC，结合面面垂直的性质，得D0⊥平面ABC．再过E作EF⊥平面ABC，可以证出四边形DEFO是平行四边形，得DE∥OF，结合线面平行的判定定理，证出DE∥平面ABC；
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OD分别为x，y，z轴方向建立空间坐标系，分别求出平面ABE和CBE的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
证明：（1）取AC中点O，连接BO、DO，
∵△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，
∴BO⊥AC，DO⊥AC；
∵平面ACD⊥平面ABC，平面ACD∩平面ABC=AC
∴DO⊥平面ABC，
过E作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，
根据题意，点F落在BO上，易求得EF=DO=，
所以四边形DEFO是平行四边形，得DE∥OF，
∵DE⊄平面ABC，OF⊂平面ABC，
∴DE∥平面ABC
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OD分别为x，y，z轴方向建立空间坐标系，
则A（1，0，0），B（0，，0），C（-1，0，0），D（0，0，），E（0，-1，）
则=（0，-1，），=（-1，，0），=（1，，0），
设平面ABE的法向量为=（x，y，z）
则，即
令y=，可得=（3，，1）
设平面ACE的法向量为=（x，y，z）
则，即
令y=，可得=（-3，，1）
设锐二面角A-BE-C的平面角为θ
则cosθ===，即二面角A-BE-C的余弦值为