Question

已知函数y=f（x）的图象与函数y=a^x-1（a＞1）的图象关于直线y=x对称．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[log_a，log_a]，求实数p的取值范围；
（Ⅲ）设函数g（x）=log_a（x²-3x+3），F（x）=a^{f（x）-g（x）}，其中a＞1．若w≥F（x）对∀x∈（-1，+∞）恒成立，求实数w的取值范围．

Answer

（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与函数y=ax-1（a＞1）的图象关于直线y=x对称，知y=f（x）是y=ax-1（a＞1）的反函数．由此能求出f（x）=loga（x+1）．
（Ⅱ）因为a＞1，所以f（x）=loga（x+1）在（-1，+∞）上为单调递增函数．所以f（x）=loga（x+1）在区间[m，n]（m＞-1）上为单调递增函数．由此利用f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[loga，loga]，能求出实数p的取值范围．（Ⅲ）由g（x）=loga（x2-3x+3），知F（x）=af（x）-g（x）=，x＞-1．由，知F（x）max=F（）=，再由w≥F（x）恒成立，能求出实数w的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵函数y=f（x）的图象与函数y=ax-1（a＞1）的图象关于直线y=x对称，
∴y=f（x）是y=ax-1（a＞1）的反函数．
在y=ax-1（a＞1）中，
∵ax=y+1，∴x=loga（y+1），
互换x，y，得到f（x）=loga（x+1）．…（3分）
（Ⅱ）因为a＞1，所以f（x）=loga（x+1）在（-1，+∞）上为单调递增函数．
所以f（x）=loga（x+1）在区间[m，n]（m＞-1）上为单调递增函数．
∵f（x）在区间[m，n]（m＞-1）上的值域为[loga，loga]，
∴f（m）=，
f（n）=loga（n+1）=，
即m+1=，n+1=，n＞m＞-1．
所以m，n是方程x+1=，
即方程x2+x-p=0，x∈（-1，0）∪（0，+∞）有两个相异的解，
这等价于，…（6分）
解得-为所求．
故实数p的取值范围是（-，0）． …（8分）
（Ⅲ）∵g（x）=loga（x2-3x+3），
∴F（x）=af（x）-g（x）=
=，x＞-1．
∵，
当且仅当x=时等号成立，
∴=∈（0，]，
∴F（x）max=F（）=，
因为w≥F（x）恒成立，∴w≥F（x）max，
所以实数w的取值范围是[，+∞）．…（13分）