Question

已知函数，若数列{a_n}满足a_n=f（n）（n∈N₊）且对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m-n）（a_m-a_n）＞0，那么实数a的取值范围是（ ）
A．[，3）
B．（，3）
C．（2，3）
D．（1，3）

Answer

由函数f（x）=，数列an满足an=f（n）（n∈N*），且对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m-n）（am-an）＞0，我们得函数f（x）=为增函数，根据分段函数的性质，我们得函数在各段上均为增函数，根据一次函数和指数函数单调性，我们易得a＞1，且3-a＞0，且f（7）＜f（8），由此构造一个关于参数a的不等式组，解不等式组即可得到结论．
【解析】
∵对任意的两个正整数m，n（m≠n）都有（m-n）（am-an）＞0，
∴数列{an}是递增数列，
又∵f（x）=，
an=f（n）（n∈N*），
∴1＜a＜3且f（7）＜f（8）
∴7（3-a）-3＜a2
解得a＜-9，或a＞2
故实数a的取值范围是（2，3）
故选C．