Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，当x＞0时，f（x）+xf′（x）＞0，且f（1）=0，则不等式xf（x）＞0的解集为（ ）
A．（-1，0）∪（1，+∞）
B．（-1，0）∪（0，1）
C．（-∞，-1）∪（1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（0，1）

Answer

由题意构造函数g（x）=xf （x），再由导函数的符号判断出函数g（x）的单调性，由函数f（x）的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性，由f（1）=0得g（1）=0、还有g（-1）=0，再通过奇偶性进行转化，利用单调性求出不等式得解集．
【解析】
设g（x）=xf（x），则g'（x）=[xf（x）]'=x'f（x）+xf'（x）=xf′（x）+f（x）＞0，
∴函数g（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴g（x）=xf（x）是R上的奇函数，
∴函数g（x）在区间（-∞，0）上是增函数，
∵f（1）=0，
∴f（-1）=0；
即g（-1）=0，g（1）=0
∴xf（x）＞0化为g（x）＞0，
设x＞0，故不等式为g（x）＞g（1），即1＜x；
设x＜0，故不等式为g（x）＞g（-1），即-1＜x＜0．
故所求的解集为（-1，0）∪（1，+∞）
故选A．