Question

已知定点F（0，1）和直线l₁：y=-1，过定点F与直线l₁相切的动圆圆心为点C．
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）若A，B是所求轨迹上的两个点，满足OA⊥OB（0为坐标原点），求证：直线AB经过一个定点．
（3）过点F的直线l₂交轨迹于两点P、Q，交直线l₁于点R，求•的最小值．

Answer

（1）根据点C到点F的距离等于它到l1的距离，依据抛物线的定义可知点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线，进而求得其轨迹方程；
（2）设直线AB的方程为y=kx+b代入抛物线方程，利用OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0，即可得到结论；
（3）设出直线l2的方程与抛物线方程联立消去y，设出P，Q的坐标，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2的表达式，进而可得点R的坐标，表示出•，根据均值不等式求得其最小值．
（1）【解析】
由题设点C到点F的距离等于它到l1的距离，
∴点C的轨迹是以F为焦点，l1为准线的抛物线．
∴所求轨迹的方程为x2=4y．
（2）证明：由已知，设直线AB的方程为y=kx+b代入抛物线方程x2=4y，并整理得x2-4kx-4b=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=-4b，
因为OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即b2-4b=0，解得，b=4或b=0（舍去），
所以直线AB过定点（0，4）．
（3）【解析】
由题意直线l2的方程为y=kx+1，与抛物线方程联立消去y，得x2-4kx-4=0．
记P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=-4．
∵直线PQ的斜率k≠0，易得点R的坐标为（-，-1），
•=（x1+）（x2+）+（kx1+2）（kx2+2）
=（1+k2）x1x2+（+2k）（x1+x2）++4
=-4（1+k2）+4k（+2k）++4=4（k2+）+8，
∵k2+≥2，当且仅当k2=1时取到等号．
∴•≥4×2+8=16，即•的最小值为16．