Question

已知函数．
（1）判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（2）若a=1，求函数f（x）在上的值域．

Answer

（1）根据单调性的定义，进行作差变形整理，可得当a＞0时，函数f（x）在（-1，1）上是减函数，当a＜0时，函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（2）根据（1）的单调性，算出函数在在上的最大值和最小值，由此即可得到f（x）在上的值域．
【解析】
（1）当a＞0时，设-1＜x1＜x2＜1
==
∵x1-1＜0，x2-1＜0，a（x1-x2）＜0
∴＞0，得f（x1）＞f（x2），函数f（x）在（-1，1）上是减函数；
同理可得，当a＜0时，函数f（x）在（-1，1）上是增函数．
（2）当a=1时，由（1）得f（x）=在（-1，1）上是减函数
∴函数f（x在上也是减函数，其最小值为f（）=-1，最大值为f（-）=
由此可得，函数f（x）在上的值域为[-1，]．