已知定义在R上的函数f（x）=x2（ax-3），其中a为常数．（1）若x=l是...

已知定义在R上的函数f（x）=x²（ax-3），其中a为常数．
（1）若x=l是函数f（x）的一个极值点，求a的值；
（2）若函数g（x）=f（x）+f′（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围．

（1）先求出函数f（x）的导函数f′（x），由题意f′（1）=0，解得a=2，再代入f′（x），验证在x=1处两侧的导数符号异号；（2）由题意求出函数g（x）的导函数g′（x），再求g′（x）=0的两个根为x1，x2，再分类讨论与区间[0，2]的大小关系，求出g（x）的最大只能所有情况g（0）或g（2），根据条件列出g（0）≥g（2），代入解析式求出a的范围．【解析】（1）∵=ax3-3x2，∴f′（x）=3ax2-6x， ∵x=l是函数f（x）的一个极值点，∴f′（1）=0，解得，a=2，此时f′（x）=6（x2-x）=6x（x-1）， ∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（-∞，0），（1，+∞）时，f′（x）＞0， ∴a=2．（2）由题意得g（x）=f（x）+f′（x）=ax3+3（a-1）x2-6x，a＞0且x∈[0，2]， ∴g′（x）=3ax2+6（a-1）x-6=3[ax2+2（a-1）x-2]，令g′（x）=0，即ax2+2（a-1）x-2=0，且△=4（a-1）2+8a=4a2+4＞0， ∴方程ax2+2（a-1）x-2=0有两个不同的根，设为x1，x2，则 x1x2=-＜0，不妨设x1＜0＜x2，当0＜x2＜2时，g（x2）为极小值，则g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；当x2≥2时，则g（x）在[0，2]上是单调减函数， ∴g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0），综上得，g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）； ∵g（x）在x=0处取得最大值，∴g（0）≥g（2），即0≥20a-24，得a≤， ∵a＞0，∴a∈（0，]．

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考点分析：

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设函数f（x）=a²x²（a＞0）．
（1）将函数y=f（x）图象向右平移一个单位即可得到函数y=φ（x）的图象，写出y=φ（x）的解析式及值域；
（2）关于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围．

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已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，其图象均在x轴的上方，对任意的m、n∈[0，+∞），都有f=[f（m）]ⁿ，且f（2）=4，又当x≥0时，其导函数f′（x）＞0恒成立．
（Ⅰ）求F（0）、f（-1）的值；
（Ⅱ）解关于x的不等式： manfen5.com 满分网