Question

已知函数．
（1）当a=时，求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小；
（3）求证：（n∈N^*）．

Answer

（1）先对f（x）求导，再令f′（x）=0，求出极值点，进而可得出单调区间和极值；
（2）令h（x）=f（x）-1，再求导，利用单调性即可比较出f（x）与1的大小；
（3）利用（2）的结论，即可证出．
【解析】
（1）当时，，定义域是（0，+∞）．
∴=．
令f′（x）=0，解得或x=2．
∵当时，或x＞2时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在或（2，+∞）上单调递增；在上单调递减．
∴函数f（x）的极大值是，极小值是．
（2）当a=2时，f（x）=lnx+，定义域为（0，+∞）．
令h（x）=f（x）-1=，定义域为（0，+∞）．
∵h′（x）==＞0，
∴h（x）在（0，+∞）是增函数．
①当x＞1时，h（x）＞h（x）=0，∴f（x）＞1．
②当0＜x＜1时，h（x）＜h（1）=0，∴f（x）＜1．
③当x=1时，h（1）=0，∴f（x）=1．
（3）根据（2）的结论，
当x＞1时，，即．
令，代入得．
∴，
依次取n=1，2，…，n．再相加即可得出：
．