Question

底面是正方形的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，E是CC₁的中点，O是AC、BD的交点．
（1）求证：AC₁∥平面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面ACC₁．

Answer

（1）如图所示，连接OE．正方形ABCD中，O是AC的中点，又已知E是线段CC1的中点，由三角形的中位线定理即可证明结论．
（2）根据面面垂直的判定定理，只要证明其中一个平面经过另一个平面的垂线即可，从图中观察看出应证明BD⊥平面ACC1即可．
证明：（1）如图所示，连接OE．正方形ABCD中，AC⊥BD，O是AC的中点．
∵E是线段CC1的中点，∴在△ACC1中，由三角形的中位线定理得OE∥AC1．
∵EO⊂平面BDE，AC1⊄平面BDE，
∴AC1∥平面BDE．
（2）∵侧棱AA1⊥底面ABCD，且CC1∥AA1．
∴AA1⊥BD，
∵BD⊥AC，AC∩AA1=A，
∴BD⊥平面ACC1．
∵BD⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ACC1．