Question

已知函数f（x）=x²-4，设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与X轴的交点为（x_n+1，0）（n∈N^*，x_n为正数）．
（1）试用x_n表示x_n+1；
（2）若x₁=4，记a_n=lg，证明{a_n}是等比数列，并求数列{x_n}的通项公式．

Answer

（1）先对函数f（x）=x2-4进行求导，进而可得到过曲线上点（x，f（x））的切线方程，然后令y=0得到关系式xn2+4=2xnxn+1，整理即可得到答案．
（2）首先确定=，再利用条件，即可得到数列{an}是以lg3为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列{xn}的通项公式．
【解析】
（1）由题可得f′（x）=2x
所以过曲线上点（x，f（x））的切线方程为y-f（xn）=f′（xn）（x-xn），
即y-（xn-4）=2xn（x-xn）
令y=0，得-（xn2-4）=2xn（xn+1-xn），即xn2+4=2xnxn+1
显然xn≠0，∴xn+1=+
（2）由xn+1=+ 知xn+1+2=，xn+1-2=
∴=
∴an+1=lg=2lg，即an+1=2an，其中a1=lg3≠0
∴数列{an}是以lg3为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n-1lg3，即lg=2n-1lg3，
∴
∴．