Question

从一个等差数列中可取出若干项依次构成一个等比数列，如等差数列：1，2，3，4，5，6，7，8，9，…中的第1项、第2项、第4项、第8项，…，依次构成一个等比数列：1，2，4，8，…，这个等比数列的第3项是原等差数列的第4项．若一个公差非零的等差数列{a_n}的第2项a₂，第5项a₅，第11项a₁₁依次是一个等比数列的前3项，则这个等比数列的第10项是原等差数列的第（ ）项．
A．1535
B．1536
C．2012
D．2013．

Answer

根据公差非零的等差数列{an}的第2项a2，第5项a5，第11项a11依次是一个等比数列的前3项，确定等比数列的首项与公比，再利用等差数列的通项，即可得到结论．
【解析】
由题意，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
∵公差非零的等差数列{an}的第2项a2，第5项a5，第11项a11依次是一个等比数列的前3项，
∴（a5）2=a2•a11，∴（a1+4d）2=（a1+d）（a1+10d）
∵d≠0，∴a1=2d，
∴等比数列的首项为3d，公比为2，第10项为3d×29=1536d
∵2d+（n-1）d=1536d
∴n=1535
故选A．