Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，A₁，A₂，B₁，B₂为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A₁B₂与直线B₁F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为    ．

Answer

解法一：可先直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；
解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．
解法一：由题意，可得直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为
两直线联立则点T（），则M（），由于此点在椭圆上，故有
，整理得3a2-10ac-c2=0
即e2+10e-3=0，解得
故答案为
解法二：对椭圆进行压缩变换，，，
椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．
延长TO交圆O于N
易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，，
设T（x′，y′），则，y′=x′+1，
由割线定理：TB2×TA1=TM×TN
，
（负值舍去）

易知：B1（0，-1）
直线B1T方程：
令y′=0
，即F横坐标
即原椭圆的离心率e=．
故答案：．