Question

已知函数f（x）=ax²+a²x+2b-a³，当x∈（-2，6）时，其值为正，而当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，其值为负．
（I）求实数a，b的值及函数f（x）的解析式；
（II）设F（x）=-f（x）+4x+12k，问k取何值时，方程F（x）=0有正根？

Answer

（Ⅰ）由题意知-2，6为方程f（x）=0的两根，由韦达定理可求a，b值；
（Ⅱ）把F（x）=0表示出来，根据二次方程的根与系数关系求出根，利用根大于0这一条件可求k范围．
【解析】
（Ⅰ）由题意可知-2和6是方程f（x）=0的两根，
∴，解得．
∴此时a=-4，b=-8．
f（x）=-4x2+16x+48．
（Ⅱ）F（x）=-（-4x2+16x+48）+4x+12k=kx2+4（1-k）x，
当k=0时，F（x）=4x，不合题意；
当k≠0时，F（x）=0的一根为，
则有k（k-1）＞0，解得k＞1或k＜0．
故当k＞1或k＜0时，方程F（x）=0有正根．