Question

已知二次函数f（x）的图象与x轴的交点为（0，0）和（-2，0），且f（x）最小值是-1，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）-λg（x）在区间[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）设f（x）=ax（x+2）=ax2+2ax（a＞0），根据顶点坐标可求a值，再由对称关系可求g（x）；
（2）表示出h（x），由题意知区间[-1，1]是h（x）增区间的子集，由此可得λ的取值范围，需要分类讨论．
【解析】
（1）依题意，设f（x）=ax（x+2）=ax2+2ax（a＞0）．
∵f（x）图象的对称轴是x=-1，
∴f（-1）=-1，即a-2a=-1，得a=1．
∴f（x）=x2+2x．
又∵函数g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，
∴g（x）的顶点坐标为（1，-1），与x轴的交点为（0，0）和（2，0），开口向上，
∴g（x）=x2-2x．
（2）由（1）得h（x）=x2+2x-λ（x2-2x）
=（1-λ）x2+2（1+λ）x．
①当λ=1时，h（x）=4x满足在区间[-1，1]上是增函数，
②当λ＜1时，h（x）图象对称轴是，
则，又λ＜1，解得0≤λ＜1；
③当λ＞1时，同理则需，
又λ＞1，解得λ＞1，
综上，满足条件的实数λ的取值范围是[0，+∞）．