Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n²+n，n∈N^﹡，数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=2b_n，n∈N^﹡.
（1）求a_n，b_n，c_n；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由Sn=2n2+n可求得an；利用等比数列的通项公式可求得bn；利用错位相减法与累加法可求得cn；
（2）由（1）知anbn=（4n-1）•2n-1，利用错位相减法即可求得数列{an•bn}的前n项和Tn．
（1）由Sn=2n2+n，得
当n=1时，a1=S1=3；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+n-[2（n-1）2+（n-1）]=4n-1，n∈N﹡．
又数列{bn}满足b1=1，bn+1=2bn，n∈N﹡．
∴数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴bn=2n-1，n∈N﹡
∴==•=（-），
∴cn=[（1-）+（-）+…+（-）]=•=．
（2）由（1）知anbn=（4n-1）•2n-1，n∈N﹡
∴Tn=3+7×2+11×22+…+（4n-1）•2n-1，①
2Tn=3×2+7×22+…+（4n-5）•2n-1+（4n-1）•2n，②
∴②-①得：Tn=（4n-1）•2n-[3+4（2+22+…+2n-1）]
=（4n-5）2n+5，
∴Tn=（4n-5）2n+5，n∈N﹡．