Question

已知函数，．
（Ⅰ）若y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（Ⅱ）设，若在[1，e]上至少存在一个x，使得f（x）-g（x）＞h（x）成立，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）y=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调函数，即y′≥0或y′≤0在[1，+∞）上恒成立，从而转化为函数最值处理；
（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）-g（x）-h（x），则在[1，e]上至少存在一个x，使得f（x）-g（x）＞h（x）成立，等价于x∈[1，e]时，F（x）max＞0，进而转化为求函数最大值问题．
【解析】
（Ⅰ）y=f（x）-g（x）=mx--2lnx，y′=，
由于y=f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，则mx2-2x+m≥0或者mx2-2x+m≤0在[1，+∞）上恒成立，
即m或者m在[1，+∞）上恒成立，
而0＜≤1，故m≥1或者m≤0，
综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F（x）=mx--2lnx-，
①当m≤0时，由x∈[1，e]得，mx-≤0，-2lnx-＜0，
所以在[1，e]上不存在一个x，使得f（x）-g（x）＞h（x）；            
②当m＞0时，F′（x）=m+-+=，
因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx2+m＞0，所以F′（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，故F（x）在x∈[1，e]上单调递增，
F（x）max=me--4，只要me--4＞0，解得m＞，
故m的取值范围是（，+∞）．