Question

设函数f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

先求导函数f'（x），函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1在区间（0，4）上是减函数转化成f'（x）≤0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．
【解析】
f'（x）=3kx2+6（k-1）x，
∵函数f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1在区间（0，4）上是减函数，
∴f'（x）=3kx2+6（k-1）x≤0在区间（0，4）上恒成立
当k=0时，成立
k＞0时，f'（4）=12k+6（k-1）×4≤0，即0＜k≤
k＜0时，f'（4）=12k+6（k-1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0
故k的取值范围是k≤
故选D．